NILAI OPTIMUM PROGRAM LINEAR

وَآَتِ ذَا الْقُرْبَى حَقَّهُ وَالْمِسْكِينَ وَابْنَ السَّبِيلِ وَلَا تُبَذِّرْ تَبْذِيرًا . إِنَّ الْمُبَذِّرِينَ كَانُوا إِخْوَانَ الشَّيَاطِينِ وَكَانَ الشَّيْطَانُ لِرَبِّهِ كَفُورًا

Artinya:

Dan berikanlah kepada keluarga-keluarga yang dekat akan haknya, kepada orang miskin dan orang yang dalam perjalanan dan janganlah kamu menghambur-hamburkan (hartamu) secara boros. Sesungguhnya pemboros-pemboros itu adalah saudara-saudara syaitan dan syaitan itu adalah sangat ingkar kepada Tuhannya (QS. Al-Isra ayat 26-27)

Al-qur'an melarang tegas untuk tidak mubazirkan hal-hal yang tidak mendapatkan kemaslahatan dan justru mendatangkan kemudharatan. Apabila melakukan hal-hal seperti ini sama saja dengan menyatakan dirinya sebagai golongan dari syaitan-syaitan yang tentunya tempat singgahnya adalah neraka.

Begitu pula dengan materi yang akan kita bahas, dimana pada materi ini kita harus kenali batasan-batasan yang harus dibuat agar nilai optimum (maksimum dan minimum) yang dihasilkan sesuai dengan perencanaan. Misalnya, jika kalian ingin membuat 1 setelan pakaian, maka berapa banyak kain dan benang yang tepat untuk digunakan. Gunakan batasan yang tepat agar tidak mengahsilkan kain dan benang yang berlebih atau kurang.

Mari kita bahas materi ini......................................................

NILAI OPTIMUM PROGRAM LINEAR

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

§  Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.

§  Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.

§  Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :

ü  Menggunakan garis selidik

ü  Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

 

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum

CONTOH SOAL 1

Nilai optimum untuk pertidaksamaan

Kendala-kendala

5x + 3y ≥ 15

x + 3y ≤ 6

x ≥ 0 dan y ≥ 0

Fungsi objektif Z = 200x + 100y adalah ....

 

PENYELESAIAN

Menentukan titik potong 5x + 3y = 15

x	0	3
y	5	0

Menentukan titik potong x + 3y = 6

x	0	6
y	2	0

Menggambar grafik

 Diperoleh titik ekstrim berikut:

• §       A (3, 0)
• §      C (6, 0)
• §     E dengan mengeliminasi dua persamaan tersebut diperoleh E (2.25, 1.25)

Maka nilai ekstrim adalah:

TITIK POTONG		MAKSIMUMKAN Z = 200x + 100y
x	y
3	0	200(3) + 100(0) = 600
6	0	200(6) + 100(0) = 1200
2.25	1.25	200(2.25) + 100(1.25) = 575

 

Maka diperoleh nilai maksimum 1200 dan nilai minimum 575

CONTOH 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 10x +20y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

PENYELESAIAN

Titik ekstrim pada gambar adalah:

§  A (0, 2)

§  B (2, 0)

§  C (7, 0)

§  D (3, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

TITIK POTONG		MAKSIMUMKAN Z = 10x + 20y
x	y
2	0	10(2) + 20(0) = 20
0	2	10(0) + 20(2) = 40
7	0	10(7) + 20(0) = 70
0	3	10(0) + 20(3) = 60

 Jadi, nilai maksimum pada grafik ini adalah 70

CONTOH SOAL 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

PENYELESAIAN

Misalkan x untuk apel dan y untuk pisang

	Buah Apel (x)	Buah Pisang (y)	Persediaan
Daya tampung	1	1	400
Modal	4.000	1.600	1.000.000

Model matematik ⇒  x + y ≤ 400

                                    4000x + 1600y ≤ 1000000 : 400

                                    10x + 4y ≤ 2500

                                    x ≥ 0 ; y ≥ 0

Grafik himpuanan penyelesaian

Titik ekstrim

v  A (0, 400) ⇒ bukan optimum karena tidak ada apel

v  C (250, 0) ⇒ bukan optimum karena tidak ada pisang

v  B (X_B, Y_B) ⇒ dengan mengeliminasi 2 persamaan tersebut diperoleh:

Jadi, jumlah maksimum apel dan pisang adalah Apel = 150 kg dan pisang 250 kg